A noção de que alguns problemas computacionais em matemática e ciência da computação podem ser difíceis, não deve surpreender.Há, de fato, uma classe inteira de problemas considerados impossíveis de resolver algoritmicamente.Logo abaixo dessa classe está um pouco "mais fácil" de problemas que são menos compreendidos-e podem ser impossíveis também.
David Gamarnik, professor de pesquisa de operações da MIT Sloan School of Management e do Instituto de Dados, Sistemas e Sociedade, está concentrando sua atenção na última categoria de problemas menos estudados, que são mais relevantes para o mundo cotidiano porque elesEnvolva aleatoriedade - uma característica integral dos sistemas naturais.Ele e seus colegas desenvolveram uma ferramenta potente para analisar esses problemas chamados de propriedades de sobreposição (ou OGP).Gamarnik descreveu a nova metodologia em um artigo recente nos procedimentos da Academia Nacional de Ciências.
P ≠ np
Cinqüenta anos atrás, o problema mais famoso da ciência da computação teórica foi formulado. Labeled “P ≠ np,” it asks if problems involving vast datasets exist for which an answer can be verified relatively quickly, but whose solution — even if worked out on the fastest available computers — would take an absurdly long time.
The P ≠ np conjecture is still unproven, yet most computer scientists believe that many familiar problems — including, for instance, the traveling salesman problem — fall into this impossibly hard category.O desafio no exemplo do vendedor é encontrar a rota mais curta, em termos de distância ou tempo, através de n diferentes cidades.A tarefa é facilmente gerenciada quando n = 4, porque existem apenas seis rotas possíveis a serem consideradas. But for 30 cities, there are more than 1030 possible routes, and the numbers rise dramatically from there.A maior dificuldade é projetar um algoritmo que resolve rapidamente o problema em todos os casos, para todos os valores inteiros de n. Computer scientists are confident, based on algorithmic complexity theory, that no such algorithm exists, thus affirming that P ≠ np.
Existem muitos outros exemplos de problemas intratáveis como este.Suponha que, por exemplo, você tenha uma tabela gigante de números com milhares de linhas e milhares de colunas.Você pode encontrar, entre todas as combinações possíveis, o arranjo preciso de 10 linhas e 10 colunas, de modo que suas 100 entradas tenham a maior soma atingível?"Nós os chamamos de tarefas de otimização", diz Gamarnik, "porque você está sempre tentando encontrar o maior ou melhor - a maior soma dos números, a melhor rota através das cidades e assim por diante.”
Os cientistas da computação há muito reconhecem que você não pode criar um algoritmo rápido que pode, em todos os casos, resolver problemas com eficiência como a saga do vendedor ambulante de viagem."Isso é provavelmente impossível por razões bem compreendidas", observa Gararnik."Mas na vida real, a natureza não gera problemas de uma perspectiva adversária.Não está tentando frustrar você com o problema mais desafiador e escolhido a dedo concebível.De fato, as pessoas normalmente encontram problemas em circunstâncias mais aleatórias e menos artificiais, e esses são os problemas que o OGP pretende abordar.
Picos e vales
Para entender o que é o OGP, pode primeiro ser instrutivo ver como surgiu a ideia.Desde a década de 1970, os físicos estudam óculos de rotação - materiais com propriedades de líquidos e sólidos que têm comportamentos magnéticos incomuns.Pesquisas em óculos de spin deram origem a uma teoria geral de sistemas complexos relevantes para problemas em física, matemática, ciência da computação, ciência dos materiais e outros campos.(Este trabalho ganhou Giorgio Parisi um Prêmio Nobel de 2021 em Física.)
Uma questão irritante com a qual os físicos lutaram é tentar prever os estados de energia, e particularmente as configurações de energia mais baixas, de diferentes estruturas de vidro de spin.A situação às vezes é retratada por uma "paisagem" de inúmeros picos de montanha separados por vales, onde o objetivo é identificar o pico mais alto.Nesse caso, o pico mais alto representa o estado de energia mais baixo (embora se possa virar a imagem e, em vez disso, procurar o buraco mais profundo).Isso acaba sendo um problema de otimização semelhante ao dilema do vendedor ambulante, explica Gamarnik: “Você tem essa enorme coleção de montanhas, e a única maneira de encontrar o mais alto parece ser subindo cada uma” - aEstaras sísifas comparáveis a encontrar uma agulha em um palheiro.
Os físicos mostraram que você pode simplificar essa imagem e dar um passo em direção a uma solução, cortando as montanhas em uma certa elevação predeterminada e ignorando tudo abaixo desse nível de corte.Você ficaria com uma coleção de picos saindo acima de uma camada uniforme de nuvens, com cada ponto naqueles picos representando uma solução potencial para o problema original.
Em um artigo de 2014, Gamarnik e seus co -autores notaram algo que já havia sido esquecido.Em alguns casos, eles perceberam, o diâmetro de cada pico será muito menor que as distâncias entre diferentes picos.Consequentemente, se alguém escolher dois pontos nessa paisagem ampla - quaisquer duas “soluções” possíveis - elas estariam muito próximas (se viessem do mesmo pico) ou muito distantes (se desenhadas de picos diferentes).Em outras palavras, haveria uma “lacuna” reveladora nessas distâncias-pequena ou grande, mas nada intermediário.Um sistema nesse estado, Gamenik e colegas propostos, é caracterizado pelo OGP.
“Descobrimos que todos os problemas conhecidos de natureza aleatória que são algoritmicamente difíceis têm uma versão dessa propriedade” - a saber, que o diâmetro da montanha no modelo esquemático é muito menor que o espaço entre as montanhas, afirma Gamenik.“Isso fornece uma medida mais precisa da dureza algorítmica.”
Desbloqueando os segredos da complexidade algorítmica
O surgimento do OGP pode ajudar os pesquisadores a avaliar a dificuldade de criar algoritmos rápidos para enfrentar problemas específicos.E já lhes permitiu “descartar matematicamente [e] rigorosamente uma grande classe de algoritmos como possíveis candidatos”, diz Gamarnik."Aprendemos, especificamente, que algoritmos estáveis - aqueles cuja saída não mudará muito se a entrada mudar apenas um pouco - falhará em resolver esse tipo de problema de otimização."Esse resultado negativo se aplica não apenas a computadores convencionais, mas também a computadores quânticos e, especificamente, aos chamados" algoritmos de otimização de aproximação quântica "(QAOAS), que alguns pesquisadores esperavam que pudessem resolver esses mesmos problemas de otimização.Agora, devido às descobertas de Gamarnik e de seus co-autores, essas esperanças foram moderadas pelo reconhecimento de que muitas camadas de operações seriam necessárias para que os algoritmos do tipo QAOA tenham sucesso, o que poderia ser tecnicamente desafiador.
"Se isso é uma boa notícia ou más notícias depende da sua perspectiva", diz ele."Eu acho que é uma boa notícia no sentido de que isso nos ajuda.É uma má notícia no sentido de que nos diz que esses problemas são difíceis, mesmo que a natureza os produza, e mesmo que sejam gerados de uma maneira aleatória.”A notícia não é realmente surpreendente, ele acrescenta.“Muitos de nós esperávamos o tempo todo, mas agora temos uma base mais sólida sobre a qual fazer essa afirmação.”
Isso ainda deixa os pesquisadores-anos de distância de poder provar a inexistência de algoritmos rápidos que podem resolver esses problemas de otimização em ambientes aleatórios. Having such a proof would provide a definitive answer to the P ≠ np problem."Se pudéssemos mostrar que não podemos ter um algoritmo que funcione a maior parte do tempo", diz ele, "isso nos diria que certamente não podemos ter um algoritmo que funcione o tempo todo.”
Predicting how long it will take before the P ≠ np problem is resolved appears to be an intractable problem in itself.É provável que haja muito mais picos para escalar e vales para atravessar, antes que os pesquisadores obtenham uma perspectiva mais clara da situação.
