Le flux de réseaux hétérogènes et les réseaux de Petri caractérisent les réseaux complexes multicouches

Les réseaux représentent un outil commun utilisé pour décrire les sous-systèmes en interaction, en formalisant leurs connexions physiques ou abstraites.Les modes de connectivité sont souvent considérés comme mono-sémantiques, cependant, la véritable interaction dans la plupart des systèmes naturels ou d'ingénierie est de nature souvent multimodale. The inability to describe such systems by traditional networks motivated extension in form of multilayer networks^1,2, based on applications found in sociology and psychology^3,4,5,6,7,8, chemistry^9,10, and physics^{11,12,13,14,15}. This attempt to develop a framework and generalize tools from network science to study multilayer complex systems is only recent². Some common formalisms falling under the framework of multilayer networks involve multiplex networks (single type of nodes, multiple types of edges)^16,17, networks of networks (multiple types of networks, connected by partially dependent node or network pairs)¹⁸, or heterogeneous networks (multiple types of networks, connected by distinct types of nodes and edges)^19,20,21,22. A comprehensive survey of common concepts falling under the framework of multilayer networks is provided in works such as^2,23.Certains de ces réseaux e.g., heterogeneous networks, are furthermore formally classified as layer-disjoint networks, a term meant to emphasize that each node of the network associates to a single layer (single type) only².

Au-delà de son aspect topologique, l'interaction dans les sous-systèmes interconnectées est souvent caractérisée par une certaine forme de processus d'évolution, qui dans des conditions en régime permanent peut être décrite comme un flux de réseau. Network flow in multilayer settings has so far been studied in multiplex networks²⁴, coupled cell networks (multiple types of nodes and edges, but requiring single-type edges for bidirectional flow)²⁵, or has otherwise been regarded in the context of a random walk or diffusion movement in a single-mode sense^26,27. A formal theory of network flow^28,29, satisfying conditions of both conservation and coupling of flow across different network semantics, has so far not been proposed in the context of multilayer networks, or within the framework presented in this paper.Outre le mérite d'un traitement formel unifié, la justification réside dans une interprétabilité physique sous-jacente trouvée dans la plupart des sous-systèmes en interaction, où une forme d'écoulement multimodal à travers les couches peut être observée en e.g., Processus chimiques, réseaux d'énergie, logistique, finance ou toute autre forme de processus de conversion reposant sur les lois de la conservation.Quelques exemples du monde réel de sous-systèmes en interaction avec la structure des réseaux multicouches impliquent, les réseaux énergétiques multi-porteurs, les réseaux financiers et les réseaux de transport, pour n'en nommer que quelques-uns. To this end, the formal notion of heterogeneous network flow is proposed, as a multilayer flow function aligned with the theory of network flow^28,29. A dynamic equivalence with the framework of Petri nets^30,31 is established, as the baseline model of concurrent event systems, relating to continuous timed processes^32,33,34 and associated network flow³⁵.La construction permet d'aplatir la structure de la relation multicouche, tout en conservant l'interprétabilité physique, car la correspondance proposée est réversible. The Petri net flow relations are here extended, to possibly incorporate both fundamental equations of balance³⁶, namely: flow balance, which is integral to the Petri net model, and node potential balance (cycle space condition), which may arise in relation to specific application domains.Dans l'ensemble, lorsqu'un réseau multicouche représente une généralisation sur la définition classique d'un graphique ou d'un réseau, le cadre proposé représente une généralisation sur la notion de flux de réseau et de relation de nœud (chaque fois que, en raison de la sémantique, la connectivité et la conversion des données sont cruciales).En tant que tel, le cadre proposé permet la dérivation d'une structure de relation en couches (correspondant à la connectivité et à la conversion des données de nœud), par opposition à une structure de relation plate classique (correspondant à la connectivité des données de nœud uniquement).Les applications de la centralité de flux et de flux multicouche multicouche sont présentées, ainsi que l'inférence basée sur l'apprentissage graphique des relations multicouches sur les données multimodales.

Le reste de cet article est organisé comme suit.Dans les «concepts de fond», un aperçu des préliminaires mathématiques est présenté.La méthodologie proposée est introduite dans le «cadre proposé», tandis que l'illustration d'applications possibles est présentée dans des «exemples illustratifs».Dans «Discussion and Outlook», les conclusions clés et les travaux futurs sont résumés, tandis que les remarques finales sont présentées dans des «conclusions».