Sítě představují běžný nástroj používaný k popisu interagujících subsystémů formalizací jejich fyzických nebo abstraktních spojení. Režimy konektivity jsou často považovány za monosémantické, avšak skutečná interakce ve většině přirozených nebo umělých systémů je často multimodální povahy. Neschopnost popsat takové systémy tradičními sítěmi motivovala rozšíření ve formě vícevrstvých sítí1,2, založených na aplikacích nalezených v sociologii a psychologii3,4,5,6,7,8< /sup>, chemie9,10 a fyzika11,12,13,14,15. Tento pokus vyvinout rámec a zobecnit nástroje ze síťové vědy ke studiu vícevrstvých komplexních systémů je teprve nedávný2. Některé běžné formalismy spadající do rámce vícevrstvých sítí zahrnují multiplexní sítě (jeden typ uzlů, více typů hran)16,17, sítě sítí (více typů sítí, propojené částečně závislým uzlem popř. páry sítí)18 nebo heterogenní sítě (více typů sítí propojených odlišnými typy uzlů a hran)19,20,21,22. Komplexní přehled běžných konceptů spadajících do rámce vícevrstvých sítí je poskytnut v dílech jako2,23. Některé z těchto sítí, např. heterogenní sítě, jsou dále formálně klasifikovány jako vrstvy-disjunktní sítě, což je termín, který má zdůraznit, že každý uzel sítě se sdružuje pouze s jedinou vrstvou (jednoho typu)2.
Mimo svůj topologický aspekt je interakce ve vzájemně propojených subsystémech často charakterizována určitou formou evolučního procesu, který lze za podmínek ustáleného stavu popsat jako síťový tok. Síťový tok ve vícevrstvém nastavení byl dosud studován v multiplexních sítích24, v sítích s propojenými buňkami (více typů uzlů a hran, ale pro obousměrný tok vyžadující hrany jednoho typu)25 nebo byl jinak považován v kontextu náhodné procházky nebo difúzního pohybu v jednorežimovém smyslu26,27. Formální teorie síťového toku28,29, splňující podmínky zachování i propojení toku napříč různými síťovými sémantikami, nebyla dosud navržena v kontextu vícevrstvých sítí ani v rámci uvedeném v tento papír. Kromě přednosti jednotného formálního zacházení spočívá zdůvodnění v základní fyzikální interpretovatelnosti, kterou lze nalézt ve většině interagujících subsystémů, kde lze pozorovat formu multimodálního toku napříč vrstvami např. v chemických procesech, energetických sítích, logistice, financích nebo jiných forma procesu konverze spoléhající na zákony zachování. Některé reálné příklady interagujících subsystémů s vícevrstvou síťovou strukturou zahrnují energetické sítě s více nosnými, finanční sítě a dopravní sítě, abychom jmenovali alespoň některé. Za tímto účelem je navržen formální pojem heterogenního síťového toku jako funkce vícevrstvého toku v souladu s teorií toku v síti28,29. Je stanovena dynamická ekvivalence s rámcem Petriho sítí30,31 jako základní model systémů souběžných událostí, vztahujících se ke spojitým časovaným procesům32,33,34 a souvisejícím tok sítě35. Konstrukce umožňuje zploštění struktury vícevrstvých vztahů při zachování fyzické interpretovatelnosti, protože navrhovaná korespondence je reverzibilní. Vztahy toku Petriho sítě jsou zde rozšířeny tak, aby případně zahrnovaly obě základní rovnice rovnováhy36, a to: rovnováhu toku, která je nedílnou součástí modelu Petriho sítě, a rovnováhu potenciálu uzlu (podmínka prostoru cyklu), které mohou vzniknout ve vztahu ke konkrétním aplikačním doménám. Celkově vzato, kde vícevrstvá síť představuje zobecnění klasické definice grafu nebo sítě, navrhovaný rámec představuje zobecnění pojmu síťového toku a vztahu uzlů (kdykoli je z důvodu sémantiky rozhodující jak konektivita, tak konverze dat). ). Navržený framework jako takový umožňuje odvození vrstvené struktury vztahů (odpovídající konektivitě a převodu dat uzlů), na rozdíl od klasické struktury plochých vztahů (odpovídající pouze konektivitě dat uzlů). Jsou prezentovány aplikace výsledného vícevrstvého Laplaciova toku a centrality toku, spolu s grafovým učením založeným na odvození vícevrstvých vztahů nad multimodálními daty.
Zbytek tohoto dokumentu je uspořádán následovně. V části „Základní pojmy“ je uveden přehled matematických příprav. Navrhovaná metodika je představena v části „Navrhovaný rámec“, zatímco ilustrace možných aplikací jsou uvedeny v části „Ilustrativní příklady“. V části „Diskuse a výhled“ jsou shrnuta klíčová zjištění a budoucí práce, zatímco závěrečné poznámky jsou uvedeny v části „Závěry“.
